Flujo gradualmente variado


Fundamento teórico

El flujo gradualmente variado, es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo largo del canal. Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis:

  1. La pérdida de altura en una sección es igual que la de un flujo uniforme con las mismas características de velocidad y radio hidráulico.
  2. La pendiente del canal es pequeña (<10%). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer corrección por presión ni por arrastre del aire.
  3. El canal es prismático.
  4. Los coeficientes de distribución de la velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado.

Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado

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Figura 1. Deducción de la ecuación de flujo gradualmente variado.

La figura 1 muestra el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud elemental dx de un canal abierto. La altura de la línea de energía en la sección aguas arriba, con respecto a la línea de referencia es

(1)

Donde H, Z, d y q son según se muestran en la figura 1, a es el coeficiente de energía y v es la velocidad media del flujo a través de la sección.

Se asume que q y a son constantes en el tramo del canal.

Tomando el piso del canal como el eje x y derivando la ecuación (1) con respecto a x se obtiene,

(2)

Si Sf es la pendiente de la línea de energía , S0 la pendiente del piso del canal y Sw la pendiente de la superficie del agua , sustituyendo estas expresiones en la ecuación (2) y resolviendo para Sw se tiene:

(3)

La ecuación (3) representa la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal y se conoce como la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Para pendientes pequeñas cos q » 1, d » y, dd/dx » dy/dx y la ecuación (3) puede escribirse:

(4)

Si se tiene un canal rectangular ancho, se puede calcular la pendiente del piso del canal para que ocurra flujo uniforme utilizando la ecuación de Manning:

Dadas las características del canal, vale la aproximación y expresando , donde q es el caudal por unidad de ancho y yn es la profundidad normal, se obtiene

(5)

La hipótesis 1 permite usar la fórmula de flujo uniforme para calcular la pendiente de energía, es decir,

(6)

Donde y es la profundidad del flujo gradualmente variado.

El término de la ecuación (4) puede desarrollarse así:

Como (ancho superior) = b para canal rectangular,

(7)

La ecuación (4) puede expresarse según las ecuaciones (5), (6) y (7) como

(8)

Tipos de perfil de flujo

Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios básicos:

  1. Según su profundidad.
  2. Según la pendiente del canal.

El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas:

Zona 1: Sobre la profundidad normal (en pendiente subcrítica) ó sobre la profundidad crítica (en pendiente supercrítica).

Zona 2: Entre las profundidades crítica y normal.

Zona 3: Bajo la profundidad crítica (en pendiente subcrítica) ó bajo la profundidad normal (en pendiente supercrítica).

El segundo criterio considera cinco condiciones de la pendiente:

H: Horizontal.

M: Moderada o subcrítica.

C: Crítica.

S: Pronunciada o supercrítica.

A: Adversa.

Estos dos criterios permiten hacer la clasificación como H2, H3; M1, M2, M3; C1, C2, C3; S1, S2, S3; A2 y A3, donde la letra se refiere a la pendiente y el número a la zona de profundidad. En la figura 9-2 del texto de Ven Te Chow se describen los diferentes perfiles del flujo y la figura 9-4 presenta ejemplos de esas situaciones.

Cálculo del perfil de flujo

Método directo por pasos

Este es un método sencillo, aplicable a canales prismáticos. Divide el canal en tramos cortos y desarrolla los cálculos para cada sección comenzando por una conocida (la sección de control por ejemplo). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas abajo y se desarrollan hacia aguas arriba y si es supercrítico se parte de aguas arriba continuándose hacia aguas abajo.

Tomando un tramo corto del canal, como lo ilustra la figura 4, se cumple que

(9)

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Figura 4. Tramo del canal para la deducción de los métodos de paso.

Definida la energía específica (E) como

(10)

Reemplazando (9) en (10) y despejando :

(11)

La pendiente de la línea de energía en una sección puede calcularse según Manning,

(12)

y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como

(13)

Procedimiento de cálculo

1. Conocidos Q, b, y Y en la sección de control, se calcula la velocidad v, la cabeza de velocidad y la energía específica

2. Se calcula la pendiente de la línea de energía (Sf) según la ecuación (12).

3. Se asume una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los valores de E y Sf para la sección con esta profundidad.

4. Se calcula 1, entre estas dos secciones y con la ecuación (13); con estos resultados se halla según la ecuación (11). Así se conoce la localización de la sección a lo largo del canal.

5. Se vuelve al paso 3.