Obtención de la ecuación general para el flujo de gas a través de tuberías


El valor del conocimiento de las condiciones para las cuales son aplicables las fórmulas usadas en el cálculo del flujo de gas a través de tuberías, tanto como las asunciones hechas en la derivación de esas fórmulas, justifican un análisis detallado de las ecuaciones básicas.

A partir de tal análisis, se entenderán más fácilmente las diferencias entre las fórmulas para el flujo del gas.

La derivación matemática incluye la fórmula fundamental para el flujo de los fluidos compresibles y la fórmula general para el flujo de gas natural a través de tuberías.

La teoría del flujo de fluidos compresibles y la derivación de las fórmulas básicas están en la mayoría de los textos relacionados con la termodinámica.

La fórmula general para el flujo de gas natural a través de tuberías se puede obtener por varios caminos; el método siguiente parece ser más directo: se considera un tramo de tubería entre dos secciones cualesquiera, que son normales a las paredes del tubo. El flujo entre esas dos secciones requiere cumplir dos condiciones específicas:

  1. No se hace trabajo sobre el fluido por medios externos.
  2. El flujo es permanente; o sea que el mismo peso de gas pasa por cada sección de la tubería durante un intervalo de tiempo.

Los gases se miden usualmente en términos volumétricos, más que por peso; sin embargo, las relaciones de energía usadas en la obtención de la fórmula fundamental para el flujo de fluidos compresibles se presentan más fácilmente cuando se considera un peso dado de fluido. Posteriormente se introducen los factores de conversión de peso a volumen.

En la siguiente derivación de la ecuación fundamental para el flujo de un fluido compresible a través de tubería el primer paso es aplicar la ley de conservación de la energía, balanceando solamente la energía mecánica.

A lo largo de la longitud arbitraria de tubería seleccionada, el balance de energía mecánica por unidad de peso del fluido que escurre es:

Donde los subíndices 1 y 2 designan las condiciones en las secciones de entrada y de salida, respectivamente.

La notación para la ecuación (1) puede ser en cualquier sistema de unidades.

Z: energía potencial por unidad de peso de fluido, debida a su posición, medida por su altura por encima de un nivel de referencia asumido.

: energía mecánica exigida para pasar la unidad de peso de fluido a través de la sección.

p: presión absoluta del fluido que escurre.

: peso específico del fluido a presión p, es igual al inverso del volumen específico v, que representa el volumen de la unidad de peso del fluido a la presión p.

: energía cinética por unidad de peso del fluido.

V: velocidad del fluido en la sección.

g: aceleración debida a la acción gravitatoria.

He: Trabajo (energía) mecánico hecho y recibido por la unidad de peso de fluido debido a su expansión mientras pasa de la sección de entrada a la sección de salida.

En el flujo de un fluido compresible a través de una tubería, cada unidad de peso del fluido en expansión de una presión p1 y un volumen específico v1 a una presión p2 y un volumen específico v2 hace el trabajo sobre el fluido que lo rodea, y, en un tubo donde el flujo es permanente, cada unidad de peso de fluido recibe esta misma cantidad de trabajo del resto de fluido en el tubo, por consiguiente, cada unidad de peso de fluido se puede considerar como haciendo este trabajo sobre sí mismo, así que

hf: trabajo (energía) mecánico desarrollado por la unidad de peso de fluido en vencer la resistencia cortante de la fricción entre las secciones de entrada y salida del tramo considerado.

A partir del balance de energía de la ecuación (1) se pueden derivar fórmulas para numerosas condiciones de flujo.

En el desarrollo de una fórmula general para el flujo de gas natural a través de tuberías se considerarán solamente las condiciones que conciernen al transporte comercial.

En la aplicación de la ecuación (1) al flujo de gas natural a través de tuberías algunos de los factores son de una pequeña magnitud relativa y pueden ignorarse; además, se hacen muchas asunciones que permiten simplificaciones sin afectar sustancialmente el valor de las ecuaciones resultantes.

Tres de esas asunciones o condiciones son las siguientes:

1. El flujo ocurre bajo condiciones isotermas, o sea que la temperatura del gas permanece inalterada.

La temperatura del gas coincide con la de la tubería y como las tuberías de gas natural usualmente se instalan enterradas, la temperatura del gas que fluye no se afecta apreciablemente por cambios rápidos de la temperatura atmosférica. Los cambios de temperatura del gas usualmente son estacionales y las observaciones simultáneas de temperatura en las secciones de entrada y salida del tramo de tubería son generalmente las mismas.

2. El gas se comporta de acuerdo a la ley de Boyle, que establece que a temperatura constante el volumen ocupado por un gas es inversamente proporcional a la presión absoluta (pv=K). Por consiguiente, para la asunción de flujo isotérmico, los productos de presión y volumen que aparecen en ambos miembros de la ecuación (1) se cancelan (; ) y la ecuación se convierte en

Sin embargo, es bien conocido que los gases reales no cumplen estrictamente la ley de Boyle. La desviación del gas natural de la ley de Boyle es significante a altas presiones y depende tanto de la composición química del gas natural como de las condiciones de presión y temperatura bajo las cuales se encuentra.

Las desviaciones de la ley de Boyle para un grupo representativo de gases naturales, fueron determinadas inicialmente por Johnson y Berwald, quienes reportan [1] algunos datos detallados concernientes a su magnitud y efecto en el cálculo de ratas de flujo.

3. La tubería es horizontal. Los cambios de elevación a lo largo de una tubería rara vez son muy grandes y su efecto en el cálculo del flujo de gas usualmente es despreciable; sin embargo, para el flujo de líquidos, el peso del fluido hace imposible ignorar las diferencias en elevación al escribir un balance de energía.

El peso específico del gas natural bajo las presiones ordinarias en las tuberías es pequeño comparado con el de los líquidos y en la mayoría de condiciones las diferencias de energía potencial del gas debido a diferencias de elevación tienen un pequeño significado relativo.

La tasa de flujo es usualmente suficientemente alta para dar grandes valores a los términos de la ecuación (1) comparados con las diferencias de valores entre los términos Z1 y Z2.

Por consiguiente Z1 y Z2 se eliminan en la ecuación (1).

Johnson y Berwald presentaron por primera vez [1] los datos obtenidos en ensayos de flujos donde se relacionan las diferencias de elevación observadas y sus efectos en el cálculo de la tasa de flujo.

De acuerdo con estas tres asunciones; flujo isotérmico, cumplimiento de la ley de Boyle y tubo horizontal, la ecuación (1) se convierte en

o sea:

En el flujo de gas natural a través de tubería ocurren usualmente considerables caídas de presión entre las secciones de entrada y salida, por lo tanto se tendrán en cuenta las condiciones de flujo relativas a "grandes porcentajes de caída de presión" mencionadas originalmente por Walker y otros [2].

Como la presión a lo largo de la tubería disminuye y la temperatura permanece constante, el volumen del gas aumenta.

Y como el mismo peso de gas cruza cada sección del tubo durante el mismo intervalo de tiempo, y el tubo es de área constante en la sección, la velocidad del flujo aumenta.

Por lo tanto se considerarán las relaciones de energía para una longitud diferencial (d l). Para esa longitud diferencial d l la ecuación (3) es:

Antes de evaluar el término d hf es necesario definir brevemente la naturaleza del flujo de gas natural en el transporte comercial:

En el flujo de fluidos el movimiento de las partículas fluidas a través del tubo es ó laminar ó turbulento.

Como su nombre lo indica, en el flujo laminar el movimiento de las partículas es paralelo a las paredes del tubo y no hay corrientes transversales, mientras que en el flujo turbulento existen corrientes transversales o vórtices.

Se considera que el flujo laminar ocurre usualmente a bajas velocidades. El trabajo de Reynolds [3] establece las relaciones entre el tipo de flujo y el diámetro del tubo, la velocidad del flujo y la densidad y la viscosidad del fluido.

En el transporte comercial de gas natural por tubería el flujo es decididamente turbulento y es para este tipo de flujo que se expresa aquí la ecuación del balance de energía.

El trabajo hecho para vencer la resistencia de la fricción en la distancia d l es igual al producto entre la resistencia de fricción y la distancia a lo largo de la cual se vence esa resistencia.

Para flujo turbulento, según Prandtl [4], la resistencia a la fricción es proporcional a la superficie de contacto con el fluido, aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad y proporcional al peso específico del fluido.

Ahora, si la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad (V²) es también proporcional a la cabeza de velocidad (V²/2g).

Expresada en símbolos, la resistencia a la fricción (d Rf) es proporcional a:

donde:

d l :longitud del tubo

P :perímetro del tubo

V :velocidad del flujo

g :aceleración de la gravedad

g :peso específico del fluido

o sea que

El término f es el factor de proporcionalidad requerido para satisfacer la igualdad y es comúnmente llamado factor de fricción.

Ahora, el trabajo requerido para vencer la resistencia de la fricción en un tramo dl de tubería será:

El peso de fluido en ese tramo de tubo es igual al área de la sección, A, multiplicada por la longitud del tramo, dl, y por el peso específico del fluido, g ,o sea:

Y el trabajo requerido para vencer la resistencia de la fricción en la longitud d l, por unidad de peso es:

Sustituyendo los valores para P=p D y A=p D²/4 se obtiene

que no es más que otra versión de la ecuación de Darcy-Weisbach

En la ecuación (4) el término d He puede evaluarse como

Sustituyendo en la ecuación (4) los valores para d hf y d He como se expresan en las ecuaciones (5) y (6), tenemos:

Para simplificar la solución de la ecuación (7), V, d V y r se expresan en términos del caudal volumétrico (Q), el caudal en peso (Qp), la constante del gas (R) y la temperatura del gas (T), así:

(para un gas ideal)

Sustituyendo en la ecuación (7):

Dividiendo ambos miembros entre v²:

Integrando entre los límites 0 (cero) y L para la longitud y v1 y v2 para el volumen:

 

Pero, como p1v1 = p2v2 = RT , la ecuación se puede escribir así:

o sea:

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (RT/p1)²:

Agrupando para (QpRT/p1)² queda:

Resolviendo para (QpRT/p1)²:

Reordenando:

Ahora, como

v1 = RT/p1   ----------->  Qpv1 = QpRT/p1 y como

  ----->  Qpv1 = AV1 se puede escribir:

QpRT/p1 = AV1

Además, como para tuberías comerciales la relación longitud a diámetro (L/D) es grande comparada con la relación de presiones a la entrada y a la salida del tramo, el valor del término ln(p2/p1) es despreciable en comparación con el valor del término 4fL/2D y para cálculos ordinarios podrá ignorarse; así la ecuación (8) podrá escribirse:

Ahora, como el caudal en volumen es Q=AV y R = KG/M, donde M es el peso molecular del gas (N/mol) y KG es la constante universal de los gases.

Sustituyendo estos valores se tiene:

Sin embargo, la ecuación (9) debe y puede simplificarse de manera que pueda expresarse en términos de variables que se midan más fácilmente.

La principal función de cualquiera fórmula de flujo en tuberías está en su aplicación al diseño de sistemas de tuberías. Por esta razón es deseable expresar las relaciones de los diversos factores que influyen en el flujo en su forma más simple para facilitar el cálculo de cualquiera de las variables cuando se conocen las demás.

La ley de los gases (pv = RT) nos permite relacionar las condiciones absolutas (p,T) con las condiciones ambientales, o de base (p0,T0), para lo cual multiplicamos la ecuación (9) por p1T0/p0T, así:

que es lo mismo que

El área en términos del diámetro es A = p D²/4:

La gravedad específica de los gases (G) se determina respecto al aire, así:

G = M/Maire o sea M = Maire.G y se tiene:

Esta es la ecuación fundamental para el flujo de fluidos compresibles a lo largo de tuberías.


Análisis dimensional de la ecuación básica


Evaluación numérica de la ecuación básica

g = 9.8 m/s²

Esta es la ecuación general para el flujo de fluidos compresibles a lo largo de tuberías, en unidades SI.

NOTA: si se desea expresar el diámetro D en milímetros y no en metros, se requiere dividir el coeficiente entre (1000)5/2; se obtiene 7.57*10-4 y las demás variables permanecen en unidades SI básicas.


Evaluación numérica de la ecuación básica en unidades imperiales

g = 32.17 pie/s²

KG = 1544 pie.lbf/lbm.°R                Maire = 29.0

L: en milla (1 milla = 5280 pie)    D: en pulgada

Q: en pie cúbico / hora

Esta es la ecuación general para el flujo de fluidos compresibles a lo largo de tuberías, en unidades imperiales. Esta versión de la ecuación es conocida como ecuación de Weymouth cuando f se obtiene a partir de

o sea


Simplificaciones de la ecuación básica de cálculo

A continuación se presentan algunas simplificaciones útiles para aplicar la ecuación de transporte de gases en situaciones particulares:

La ecuación anterior puede simplificarse para tres diferentes rangos de presiones, así:


Para p<7000mb:   Z=1


Para p>70mb:

Conocida como ecuación de Müeller para presión media.

Donde:

Q: m3/h

p: bar

L: m

D: mm

1 bar=1.0 kgf/cm2


Para p<70mb:

Conocida como ecuación de Müeller para presión baja.

Donde:

Q: m3/h (estándar)

h: D p en mb

L: m

D: mm

15.5ºC – 760mmHg


Bibliografía específica

[1] Johnson, T.W.; Berwald, W.B.; Flow of Natural Gas Through High-Pressure Transmission Lines, U.S. Departament of the Interior, Bureau of Mines, Monograph 6, A Joint Report, sobre un trabajo y manuscrito terminado en febrero de 1935

[2] Walker,W.H.; Lewis,W.K.; McAdams, W.H., Principles of Chemical Enginnering; 2a Ed., pág. 112, New York, 1927

[3] Reynolds, Osborne; An Experimental Investigation of the Circumstances which Determine Whether the Motion of Water Shall be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels; Phil. Trans. Royal Soc. London, vol 174, pág. 935-982, 1883

[4] Prandtl, L., Essentials of Fluid Dynamics, Hafner Publishing Company, New York, 1952

Para una discusión adicional del factor de compresibilidad Z y de la obtención del factor de fricción f, veáse

[5] Ikuko, Chi U., Natural Gas Engineering, PennWell Books, capítulo 7: Gas Gathering and Transportation, pág. 260 y siguientes.

 

fjm