Análisis Dimensional        

      Una útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que está cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las matemáticas conocido como análisis dimensional - las ma­temáticas de las dimensiones de las cantidades.  Aunque se puede argumentar con éxito que la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos diferentes.

Les métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación deben ser las mismas.

La investigación adicional de este principio revelará que el mismo proporciona un me­dio de determinar las formas de las ecuaciones físicas, a partir del conocimiento de las variables principales y de sus dimensiones.  Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales produzcan soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de problemas que desafían la solucion analítica y que deben ser resueltos experimentalmente.  En este caso, el análisis dimensional entra en su propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir de un mínimo de experimentación.  Logra lo anterior por medio de la formación de grupos adimensionales, algunos de los cuales son idénticos con las relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.

 Para ilustrar los pasos matemáticos en un problema dimensional sencillo, considérese la familiar ecuación de la estática de fluidos,

                                p = γh

 pero supóngase que se conocen las dimensiones de γ y de h, y que las de p son desconocidas.  Las dimensones de p sóIo pueden ser alguna combinación de M, L, y T, y esta combinación puede descu­brirse escribiendo la ecuación dimensionalmente como

 (Dimensiones de p) = (Dimensiones de γ) * (Dimensiones de h)

0                       

 en la cual a, b, y c son desconocidas.  Al aplicarse el principio de la homogeneidad dimensional, el exponente de cada una, de las dimen­sienes fundamentales es el mismo en cada lado de la ecuación, lo que da

                     a = 1,    b =-2+ 1 = -1,    c=-2

 (Dimensiones de p) = ML-1T-2 =   M/LT2

Es obvio, Por supuesto que este resultado podria haberse obtenido mas directamente por la cancelación de L en el miembro derecho de la ecuación, ya que este ha sido, y continuara siéndolo, el metodo mas usual de obtener las dimensiones desconocidas de una cantidad.                          

 Para ilustrar otro ejemplo familiar , supongase que se sabe que la potencia, p que se puede extraer de una turbina hidráulica dependedle regimen de flujo de la máquina Q, del peso especifico del fluido circulante, γ, y de la energía mecánica unitaria, E, que cada unidad de peso proporciona al pasar a través de la máquina.  Supóngase que es des­conocida la relación entre estas cuatro variables, pero se sabe que estás son las únicas variables implicadas.  Con este escaso conocimiento, se puede hacer la siguiente afirmación matemática:

                                              P = f(Q, γ, E)

 Es aparente por el principio de la homogeneidad dimensional que las cantidades implicadas no se pueden sumar o sustraer, ya que sus dimensiones son diferentes.  Este principio limita la ecuación a una combinación de productos de las potencias de las cantidades impli­cadas, la que se puede expresar en la forma general

                                                P = C Qa γb Ec

 En la cual C es una constante adirnensional que puede existir en la ecuación pero que, por supuesto, no se puede obtener por los métodos dimensíonales.  Escribiendo la ecuación en forma dimensional

                                      

se obtienen las siguientes ecuaciones en los exponentes de las dimensiones:

M:     1 = b         a= 1,     b = 1

L:       2=3a-2b+c

T:       -3=-a-2b

De donde.

         a=1          b=1        c=1

y la resustitucion de estos valores en la ecuación anterior de P, da

                                      P = CQγE

 La magnitud de C se puede obtener, ya sea a partir de un análisis físico del problema o a partir de mediciones experimentales de P, Q, γ, y E.

De los problemas anteriores parece que en el análisis dimensio­nal (de, problemas de mecánica) sólo se pueden escribir tres ecua­ciones, ya que sólo existen tres dimensiones fundamentales indepen­dientes: M, L y T. Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita la utili­dad del análisis dimensional para obtener la forma de los términos de la ecuación.

 El método del análisis dimensional de Rayleigh fue mejorado por Buckingham con una amplia generalización que se conoce como el Teorema-Π.  Buckingham demostró que si n variables (tales como D, l, p, μ V  son funciones una de otra, se pueden escribir k ecuaciones (en donde k es el número de dimensiones independientes de sus exponentes.  El análi­sis dimensional reunirá las variables en (n-k) grupos adimensionales  que estén funcionalmente relacionados.  Buckingham designó estos grupos adímensionales con la letra griega (mayúscula) Π.  El teorema de Π  ofrece considera­ble ventaja sobre el estudio de Rayleigh, en que muestra antes del análisis cuántos grupos pueden esperarse y permite al ingeniero mayor flexibilidad en la formulación de los números (en particular si ya se sabe que ciertos grupos, por ejemplo, las relaciones entre fuerzas, son pertinentes).

 

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