Tensión en un punto


Para encontrar una expresión que describa la transmisión de los esfuerzos en el interior de un fluido considere una porción continua de fluido sometida a la acción de diversas fuerzas y momentos externos:

Medio fluido continuo

Ahora se intersecta el medio fluido continuo con un plano p con una inclinación cualquiera:

Medio fluido continuo bisectado

Se retira la porción derecha de sustancia y sobre la superficie plana así obtenida se deberán transmitir las fuerzas que ejercía la materia que ya no está presente.   Sin embargo, tales fuerzas se transmiten en forma distribuida sobre esa superficie. Para observarlo con mayor detalle se traza una malla sobre la superficie determinada por el plano arbitrario y cada elemento de área DA trasmitirá una fuerza DF:

Porción de medio fluido continuo

Cada elemento de área DA transmitirá un afuerza DF que a su vez tiene dirección generalizada en el espacio y puede expresarse en sus componerse normal (DFN) y tangencial ( DFT) a la superficie DA:

Elemento de área de contacto

En estas condiciones se define:

Esfuerzo normal s al límite de la relación (DFN/DA) cuando DA tiende a cero.

Esfuerzo cortante t al límite de la relación (DFT/DA) cuando DA tiende a cero.

Observe que ambos esfuerzos tienen unidades F/L2  pero son magnitudes escalares.

El momento que se transmite por esa cara se reduce a cero cuando el área tiende a cero.


Ahora, en vez de trazar un plano que pasa por el punto determinado cuando DA tiende a cero, se trazarán seis planos alrededor de tal pundo de manera que se defina un elemento infinitesimal de volumen d", con aristas dx, dy y dz.

Sobre cada cara del elemento infinitesimal podrá defininirse un esfuerzo normal (s) y una pareja de esfuerzos cortantes (t) obtenidos a partir de la adecuada descomposición de la fuerza que se transmite por esa cara.

Se adoptará la siguiente nomenclatura:

smm         tmn

Los esfuerzos tendrán dos subíndices:

Cuando ambos sentidos tienen el mismo signo (+/+ ó -/-) el esfuerzo se considera positivo. Los esfuerzos que actúan sobre las caras de versor positivo serán primados. Se considera que el sentido del versor que designa una superficie que delimita un volumen es positivo cuando se dirige desde el interior del volumen hacia el exterior.

En esta gráfica se representan los esfuerzos que actúan sobre las caras superior e inferior del cubo. Los esfuerzos se representan en el mismo sentido de las fuerzas que desarrollan sobre la cara. Los signos que acompañan a los subíndices se refieren a los sentidos de los ejes que designan la cara y la fuerza.  Cuando tienen el mismo sentido ( +/+ ó -/- ) los esfuerzos son positivos.  Sobre las cuatro caras laterales actuarán otras tantas ternas de esfuerzos.

Elemento que soporta esfuerzos normales y cortantes

Ahora se indicarán sólo los esfuerzos que desarrollan fuerzas de contacto paralelas al eje z, no se indican los esfuerzos que desarrollan fuerzas normales al eje z:

Esfuerzos que inducen fuerzas en una misma dirección

Cada esfuerzo desarrollará una fuerza infinitesimal sobre la superficie donde actúa:

Un esfuerzo normal desarrolla una fuerza superficial como: dFs=szzdA

Un esfuerzo cortante desarrolla una fuerza superficial como: dFt=tzydA

Los diferenciales de área son de la forma: dA=dx.dy

El campo gravitacional desarrolla una fuerza volumétrica como:  dF=rgzd"

Se observa que el campo gravitacional tendrá, en general, componentes paralelas a cada uno de los ejes: gx, gy y gz

El diferencial de volumen es de la forma: d"=dx.dy.dz

Si el medio fluido es continuo se pueden establecer variaciones infinitesimales para los esfiuerzos normal y cortante, por ejemplo:

s´zz = szz   + dszz

Además, como el esfuerzo es una función escalar de posición, szz = szz(x, y, z); varía en el espacio en todas direcciones y para la variación sólo a lo largo del eje zeta se podrá escribir:

dszz = (szz/z)dz

De otra parte, se observa que el campo gravitacional tendrá, en general, componentes paralelas a cada uno de los ejes: gx, gy y gz.  Se conviene que el sentido positivo del versor radial del campo gravitacional se proyecta en el sentido positivo de los ejes coordenados cartesianos, de manera que las componentes de la aceleración gravitacional se alinean en el sentido negativo de tales ejes.

Se puede escribir la ecuación general del movimiento de la partícula fluida en el sentido del eje zeta con los esfuerzos ilustrados, y de manera similar para las otras direcciones, aplicar las consideraciones expuestas y simplificar hasta obtener:

En la dirección del eje x:       sxx/x + txy/y + txz/z - rgx = rax

En la dirección del eje y:       tyx/x + syy/y + tyz/z - rgy = ray

En la dirección del eje z:       tzx/x + tzy/y + szz/z - rgz = raz

Este sistema de ecuaciones se puede representar matricialmente así:

Donde:

r representa la función de densidad del fluido.en ese punto
representa el operador gradiente, Ñ, en coordenadas cartesianas
representa el vector aceleración gravitacional local
representa la aceleración de la partícula fluida
representa el tensor de esfuerzos, normales y cortantes

El operador gradiente tiene una representación particular en cada sisteam coordenado. En coordenadas cartesianas es:

Operador gradiente en coordenadas cartesianas

Y en coordenadas cilindricas:

Operador gradiente en coordenadas cilíndricas

Propiedades del tensor de esfuerzos.

1. El tensor de esfuerzos es simétrico.

A partir del estudio de momentos axiales originados por los esfuerzos sobre cada una de las caras del elemento diferencial se puede determinar que los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas son iguales, así:

txy=tyx   ;

txz=tzx    ;

tzy=tyz

 2. El tensor de esfuerzos se puede diagonalizar.

A partir de las propiedades de las matrices simétricas se deduce que el arreglo tensorial de esfuerzos se puede diagonalizar, de manera que los esfuerzos normales permanecen en la diagonal principal y todos los valores de esfuerzo cortante son nulos, que físicanmete significa que existe una orientación privilegiada en el espacio para la cual no se desarrolla fricción así el fluido sea real.  A estos ejes se les llama ejes principales.  En esa orientación los esfuerzos normales se vuelven iguales entre sí.

3. El tensor de esfuerzos goza de tres invariantes o valores constantes asociados.

3.1  El valor del determinante asociado al tensor de esfuerzos es una constante

3.2 La suma de los menores asociados a los elementos de la diagonal principal es una constante

3.3 La suma de los esfuerzos normales es una constante.  Su promedio es constante y se conoce como tensión volumétrica media, sm:

sm = (sxx+syy+szz)/3

La tensión volumétrica media tiene el mismo valor de la presión termodinámica y como los fluidos no soportan esfuerzos de tracción se conviene en nomenclar la presión con el signo negativo de la tensión volumétrica media:

p = - sm

Así como el esfuerzo es un escalar la presión lo será, y no debe inducir confusión así sus unidades básicas sean relación de fuerza por unidad de superficie.

Tambien debe observarse que cuando no existe gradiente de velocidades, porque la masa fluidad sea estática o se desplace con movimiento rectilíneo uniforme, cualquier sistema de ejes oficiará de sistema de ejes principales, en la diagonal principal estarán los esfuerzos normales iguales entre sí y cada uno de ellos será igual a la tensión volumétrica media. En esas circunstancias se podrá escribir:

Que se puede modificar si se sustituye la tensión volumétrica media en términos de menos la presión, la aceleración gravitacional por su módulo acompañado de las direcciones espaciales que dan sus componentes en términos de una altura h que lleve la dirección de la plomada y todo se divide por la densidad, para obtener:

En esta expresión cada término representa una fuerza por unidad de masa: la debida a la presión, la debida a la atracción gravitacional y la de inercia:

- fp - fg = a

Ecuación de Euler

Si se desarrolla una expresión que incluya las fuerzas de superficie por unidad de masa originadas por la fricción se obtiene una expresión como:

  ft - fp - fg = a

Ecuación de Navier-Stokes

Esta es una expresión general que indica como se relacionan entre sí las fuerzas de superficie debidas a la fricción y al confinamiento del fluido, las fuerzas másicas debidas a la acción de la gravedad y el estado general del movimiento de la partícula fluida. Es una descripción cualitativa de muchas cantidades relacionadas entre sí.


Enuncie en sus propias palabras la ecuación que describe la tensión en un punto.

Estudie la homogeneidad dimensional de esta ecuación.

¿Esta ecuación permite una descripción integral o puntual del movimiento de un fluido?

 

Revise una presentación complementaria de las tensiones en el medio continuo donde, entre otros aspectos, se demuestran las propiedades del tensor de esfuerzos.